Ejercicios resueltos de probabilidad 2 bachillerato matemáticas II y aplicadas a las ciencias sociales desde cero paso a paso . Resumen fórmulas y trucos , problemas de selectividad EBAU EVAU
Probabilidad 2 Bachillerato
1 Espacio muestral y sucesos
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.
Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales
Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, Ø, y el propio E, suceso seguro
Suceso contrario de un suceso A esta formado por todos los sucesos elementales que no están en A . Se representa por
Ejemplo 1. En el experimento de lanzar un dado de 6 caras calcular
Espacio muestral
- Sucesos elementales
- Suceso A sacar número par
- Suceso B sacar número múltiplo de 3
- Suceso contrario de A
- Suceso seguro y un suceso imposible
2 Operaciones con sucesos
2.1 Unión AUB es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B
2.2 Intersección A∩B es el suceso formado por todos los elementos que son a la vez, de A y de B
2.3 Sucesos incompatibles Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común.
Si tienen algún elemento en común son compatibles
Ejemplo 2. En el experimento de lanzar un dado de 6 caras sean los sucesos :A sacar número par , y B sacar número múltiplo de 3 , calcular :
- La unión AUB
- La intersección A∩B
- ¿Son los sucesos A y B incompatibles?
3 Fórmulas de probabilidad 2 bachillerato
4 Sucesos incompatibles Ejercicio resueltos
Sabiendo que los sucesos A y B son sucesos incompatibles y que P(A)=2/9 y P(B)=1/6 calcular
a)P(A∩B)
b) P(AUB)
5 Leyes de Morgan y diferencia de sucesos ejercicio resuelto
En un concurso la probabilidad de ganar un reloj es de 0,4 y de ganar un móvil 0,2 . La probabilidad de ganar los 2 regalos es de 0,05 .
- a) Calcular la probabilidad de ganar solo el móvil.
- b) Calcular la probabilidad de no ganar ningún regalo
6 Probabilidad condicionada Ejercicio resuelto
Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que
P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,1. Calcula razonadamente:
- a) Sabiendo que ha ocurrido A ¿cuál es la probabilidad de que ocurra B?
- b) Sabiendo que ha ocurrido B ¿cuál es la probabilidad de que ocurra A?
- c) ¿ Son los sucesos A y B independientes ?
7 Probabilidad Condicionada Leyes de Morgan … Ejercicio resuelto
El 40% de los habitantes de una cierta comarca tienen camelias, el 35% tienen rosas y el 21% tienen camelias y rosas. Si se elige al azar a un habitante de esa comarca, calcule las cinco probabilidades siguientes: de que tenga camelias o rosas; de que no tenga ni camelias ni rosas; de que sabiendo que tiene rosas tenga camelias; de que sabiendo que tiene camelias tenga rosas; y de que solamente tenga rosas.
8 Diagramas de árbol con devolución
Tenemos una urna con 3 bolas amarillas y 5 bolas negras si extraemos 2 bolas con devolución calcular la probabilidad de:
- Que sean las dos amarillas
- Que sean las dos negras
- Que sean del mismo color
- Que sean de distinto color
9 Diagramas de árbol sin devolución
Tenemos una urna con 4 bolas verdes y 3 bolas azules si extraemos 2 bolas sin devolución calcular la probabilidad de:
- Que sean las dos verdes
- Que sean las dos azules
- Que sean del mismo color
- Que sean de distinto color
10 Teorema de la probabilidad total Ejercicio resuelto
En una tienda en periodo de rebajas, el 80 % de las ventas son de ropa y el 20 % restante son complementos de moda. De las ventas que se realizan en la campaña, el 20 % de las ventas de ropa son devueltas, mientras que solo se devuelven el 10 % de los complementos. Si una de las ventas es elegida al azar, calcule la probabilidad de que la venta: a) Sea una prenda de ropa y sea devuelta. b) Sea devuelta.
11 Teorema de Bayes Ejercicio resuelto
Una corporación informática utiliza 3 bufetes de abogados para resolver sus casos legales en los tribunales. El bufete A recibe el 30% de los casos legales y gana en los tribunales el 60% de los casos presentados, el bufete B recibe el 50% de los casos legales y gana el 80% de los casos presentados, mientras que el bufete C recibe el 20% de los casos legales y gana el 70% de los casos presentados. Se elige al azar uno de los casos presentados en los tribunales.
- a) Determina la probabilidad de que la empresa gane el caso.
- b) Si el caso elegido se ha ganado, calcula la probabilidad de que haya sido encargado al bufete A.
- c) Si el caso elegido se ha perdido, calcula la probabilidad de que haya sido encargado al bufete C
Vamos a realizar estos 4 ejercicios del teorema de Bayes que son clásicos de examen
aprovecharemos para trabajar ciertos conceptos trucos y claves
Ejercicio 1 Trabajaremos el Teorema de Bayes y el teorema de probabilidad total
Ejercicio 2 ¿es lo mismo probabilidad condicionada que el teorema de Bayes?
Trabajaremos cuando hay que aplicar el teorema de Bayes y cuando no
Ejercicio 3 Trabajaremos cuando hay que aplicar el teorema de Bayes y cuando la intersección
Ejercicio 4 Me preguntan múltiples teoremas de Bayes a la vez
Ejercicio 1 ver solución
Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar: a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde. b) Sabiendo que ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús? c) Sabiendo que ha llegado tarde ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en coche?
Ejercicio 2 ver solución
La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,6, 0,3 y 0,1, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,25 para los barcos de bajo tonelaje, 0,4 para los de tonelaje medio y 0,6 para los de tonelaje alto. a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio c) Si un barco es de tonelaje medio calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento
Ejercicio 3 ver solución
El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad. a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €? b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? c) Elegido uno de los clientes al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y recibiera un crédito inferior a 6000 € ?
Ejercicio 4 ver solución
Un envío de frutas a un supermercado consta de naranjas y manzanas que se agrupan en cajones de 500 piezas: 300 naranjas y 200 manzanas. Por experiencias anteriores se sabe que en cada envío están estropeadas un 15% de las naranjas y un 5% de las manzanas. Se extrae una pieza al azar de un cajón cualquiera. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté estropeada? b) Si la pieza elegida está en buenas condiciones, ¿qué es más probable, que sea naranja o que sea manzana?
Ejercicios resueltos de exámenes Selectividad EBAU EVAU Probabilidad 2 bachillerato
Ejercicio 01 Ver solución
En nuestra clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado Bioestadística , 16 que han aprobado Epidemiología y 6 que no han aprobado ninguna de las dos .Escogemos al azar un alumno. Sabiendo que ha aprobado Bioestadística ,¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Epidemiología?
Ejercicio 02 ver solución
Una empresa recibe lotes de material de 3 proveedores en proporciones del 50 %, 30 % y 20 %. Se sabe que el 0,1 % de los lotes del primer proveedor, el 0,5 % de los del segundo, y el 1 % de los del tercero es rechazado en el control de calidad que realiza la empresa a la recepción del material.¿ cual es la probabilidad de que un lote sea rechazado ?
Ejercicio 03 ver solución
En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respectivamente, 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A?
Ejercicio 04 ver solución
En cierto país donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que , da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas; y da positiva en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva?
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