Probabilidad 7 Teorema de Bayes

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7.1 Teorema de Bayes

En vez de utilizar este formulón nosotros vamos a resolver estos ejercicios por diagramas de árbol

Teorema de Bayes Ejercicios resueltos

Problema 1 de teorema de Bayes 

parte 1    parte 2

Tenemos una urna con cuatro bolas amarillas y tres bolas negras .si realizamos dos extracciones sin reemplazamiento , calcular la probabilidad de

a) Sabiendo que la primera bola es negra que la segunda también lo sea

b) Sabiendo que la segunda bola es negra que la primera también lo sea

c) Sabiendo que la segunda bola es negra que la primera sea amarilla

d) Sabiendo que la primera bola es negra que la segunda sea amarilla

Vamos a realizar estos 4 ejercicios que son clásicos de examen

aprovecharemos para trabajar ciertos conceptos trucos y claves ver vídeo

Ejercicio 1 Trabajaremos el Teorema de Bayes y el teorema de probabilidad total

Ejercicio 2¿es lo mismo probabilidad condicionada que el teorema de Bayes?

Trabajaremos cuando hay que aplicar el teorema de Bayes y cuando no

Ejercicio 3 Trabajaremos cuando hay que aplicar el teorema de Bayes y cuando la intersección

Ejercicio 4 Me preguntan múltiples teoremas de Bayes a la vez

EJERCICIO 1 ver solución

Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar: a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde. b) Sabiendo que ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús? c)  Sabiendo que ha llegado tarde ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en coche?

EJERCICIO 2 ver solución

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,6, 0,3 y 0,1, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,25 para los barcos de bajo tonelaje, 0,4 para los de tonelaje medio y 0,6 para los de tonelaje alto. a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio c) Si un barco es de tonelaje medio calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento

EJERCICIO 3 ver solución

El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad. a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €? b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? c) Elegido uno de los clientes al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y recibiera un crédito inferior a 6000 € ?

EJERCICIO 4  ver solución

Un envío de frutas a un supermercado consta de naranjas y manzanas que se agrupan en cajones de 500 piezas: 300 naranjas y 200 manzanas. Por experiencias anteriores se sabe que en cada envío están estropeadas un 15% de las naranjas y un 5% de las manzanas. Se extrae una pieza al azar de un cajón cualquiera. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté estropeada? b) Si la pieza elegida está en buenas condiciones, ¿qué es más probable, que sea naranja o que sea manzana?

Problema 2 de teorema de Bayes  

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En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respectivamente, 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A?

Problema 3 de teorema de Bayes   

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En cierto país donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que ,  da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas; y da positiva en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva?

ProbabilidadLibro vídeo

Problema resuelto de selectividad CLÁSICO DE EXAMEN 

De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si el sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene 2 blancos, 2 negros y 5 con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un pañuelo de otro cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 4 negros y 4 con cuadros blancos y negros. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero.

b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro.

c) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros.

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Rafa Nadal y Marc López Oro en río 2016

Rafa Nadal y Marc López ganaron el Oro en las olimpiadas de Río 2016 , tras imponerse en la final a la dupla formada por los rumanos Florin Mergea y Horia Tecau  (por 6-2, 3-6 y 6-4). La pareja española tuvo 16 puntos de break de los cuales ganó el 25% y la pareja Rumana 5 de las cuales ganó el 40 % . Calcular

a) la probabilidad de ganar un punto de Break

b) Sabiendo que se ganó el punto , la probabilidad que fuese la pareja española ver solución

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ejercicios

3B Una fábrica de piezas para aviones está organizada en tres secciones. La sección A fabrica el 30% de las piezas, la sección B el 35%, mientras que el resto se fabrican en la sección C. La probabilidad de encontrar una pieza defectuosa es del 0.01, 0.015 y 0.009 según se considere la sección A, B o C, respectivamente. a) Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar salga defectuosa de dicha fábrica. b) Si elegida una pieza al azar es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que sea de la sección B?

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3A– Según el informe anual La Sociedad de la Información 2012, el 63% de los usuarios de móvil en España tiene un “Smartphone”. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de teléfono móvil sólo el 8 % lo emplea para la conexión habitual a internet.

a) Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil.

b) Si un usuario emplea habitualmente el teléfono móvil para conectarse a internet, halla la probabilidad de que sea propietario de un “Smartphone”.

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ejercicios

Un moderno edificio tiene dos ascensores para uso de los vecinos. El primero de los ascensores es usado el 45% de las ocasiones, mientras que el segundo es usado el resto de las ocasiones. El uso continuado de los ascensores provoca un 5% de fallos en el primero de los ascensores y un 8% en el segundo. Un día suena la alarma de uno de los ascensores porque ha fallado. Calcula la probabilidad de que haya sido el primero de los ascensores.

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Ejercicio

En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0.4, de molinos eólicos con probabilidad 0.26 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0,12. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:

a) por alguna de las dos instalaciones,

b) solamente por una de las dos. ver solución

3A– Hay una epidemia de gripe. Un síntoma muy común es el dolor de cabeza, pero este síntoma también se presenta en personas que tienen un catarro común y en personas que no tienen ningún trastorno serio. La probabilidad de tener dolor de cabeza, padeciendo gripe, catarro y no teniendo nada serio es 0.99, 0.5 y 0.004 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 10% de la población tiene gripe, el 15% catarro y el resto nada serio. Se desea saber:

a) Elegida al azar una persona, ¿qué probabilidad hay de que tenga dolor de cabeza?

b) Se sabe que una determinada persona tiene dolor de cabeza, ¿cuál es la probabilidad de que tenga gripe? Ver solución

ejercicios

En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen de forma consecutiva y sin reemplazamiento dos bolas. Calcúlese la probabilidad de que:

a) Las dos bolas sean del mismo color.

b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja.

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